Moving Average Filter

Ideal Model （理想モデル）

Representation in frequency domain （周波数軸での表記）

Moving Average Filter performs convolution of input signal and rectangular pulse in time domain.

The convolution in time domain equals point-wise multiplication in frequency domain. (https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem)

Thus the frequency response of Moving Average Filter is a representation of rectangular pulse in frequency domain, and obtained by performing Fourier Transform of the rectangular pulse. (https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_function)

移動平均フィルタでは、時間軸において、入力信号と矩形パルスの畳み込み積分が行われます。

畳み込み積分は周波数軸において、周波数成分ごとの乗算と等価となります。

従って、移動平均フィルタの周波数特性は、矩形パルスの周波数軸での表記として表され、矩形パルスをフーリエ変換することで求めることができます。

Frequency response in dB （周波数特性のdB換算）

Frequency response of Moving Average Filter in dB is shown as the following.

移動平均フィルタの周波数特性をdB表記すると、以下のようになります。

Example （例）

Let us assume the sampling frequency is 1[kHz] and averaging is performed over 10 samples, we can use a=10[ms] (the period for 10 samples) in above graph.

We observe that 92.8% of the power spectrum from this filter is below 100 [Hz], if the input is an impulse.

If we resample this filter output at 200[Hz], a distortion of 7.2% is expected due to aliasing error happens over 100[Hz] components.

1[kHz]でサンプリングを行い、10個のサンプルを平均化する場合、上の図でa=10[ms]（10サンプル分の期間）となります。

インパルス入力の場合、フィルタの出力の92.8%の電力スペクトラムは100[Hz]以内に入ることが分かります。

このフィルタの出力を200[Hz]で再サンプリングを行った場合、100[Hz]以上の成分でエリアジングが発生するため、信号が7.2%歪むことが予想されます。

z-Transform Model （z変換モデル）

Suppose averaging is performed over N samples, the model can be illustrated as the following using N-1 delay elements, where z^-1 represent an element of delay.

N個のサンプルを平均化する場合、z^-1を１個の遅延素子として、N-1個の遅延素子を用いて、以下の図のようにモデルを表すことができます。